Estimación Espectral Media Móvil

AR y ARMA Estimación espectral Aceptado: 06 Diciembre 1987 Citar este artículo como: Rao, A. R. Han sido desarrollados y se están utilizando cada vez más como alternativas para el análisis espectral de los métodos de autoevaluación (AR) y de media móvil auto-regresiva (ARMA). A los métodos tradicionales de análisis espectral. Dos de estos métodos desarrollados por Marple y Friedlander se prueban en este estudio usando datos generados de modelos con espectros conocidos. Las estimaciones espectrales de Blackman-Tukey también se comparan con las estimaciones de Marple y Friedlander. Se investiga la variabilidad de las estimaciones de Marple y Friedlander con tamaños de muestra. Aunque los métodos de Marples y Friedlanders son satisfactorios, se prefiere el método de Friedlanders debido a su capacidad para manejar una clase más amplia de modelos. Palabras clave Modelos estocásticos análisis espectral Referencias Akaike, H. 1969: Ajustar los modelos AR para la predicción. Ana. Inst. 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Acerca de este artículo Imprimir ISSN 0931-1955 En línea ISSN 1435-151X Nombre del editor Springer-Verlag12.1: Estimación de la Densidad Espectral Anteriormente se habló del periodograma, una función / gráfico que muestra información sobre los componentes periódicos de una serie de tiempo. Cualquier serie temporal puede ser expresada como una suma de ondas coseno y seno que oscilan en las frecuencias fundamentales (armónicas) j / n. Con j 1, 2,, n / 2. El periodograma proporciona información sobre las fuerzas relativas de las diversas frecuencias para explicar la variación en las series temporales. El periodograma es una estimación de la muestra de una función de población denominada densidad espectral, que es una caracterización del dominio de la frecuencia de una serie temporal de población estacionaria. La densidad espectral es una representación del dominio de la frecuencia de una serie temporal que está directamente relacionada con la representación del dominio del tiempo de autocovariancia. En esencia, la densidad espectral y la función de autocovariancia contienen la misma información, pero la expresan de diferentes maneras. Nota de revisión. La autocovariancia es el numerador de la autocorrelación. La autocorrelación es la autocovariancia dividida por la varianza. Supongamos que (h) es la función de autocovariancia de un proceso estacionario y que f () es la densidad espectral para el mismo proceso. En la anotación de la oración anterior, h tiempo de retraso y frecuencia. La autocovariancia y la densidad espectral tienen las siguientes relaciones: En el lenguaje del cálculo avanzado, la autocovariancia y la densidad espectral son pares de transformada de Fourier. No nos preocuparemos por el cálculo de la situación. Bien se centran en la estimación de la densidad espectral de la caracterización del dominio de frecuencia de una serie. Las ecuaciones de transformada de Fourier sólo se dan aquí para establecer que existe una relación directa entre la representación del dominio del tiempo y la representación del dominio de la frecuencia de una serie. Matemáticamente, la densidad espectral se define para las frecuencias negativas y positivas. Sin embargo, debido a la simetría de la función y su patrón de repetición para frecuencias fuera del rango -1/2 a 1/2, sólo necesitamos preocuparnos con frecuencias entre 0 y 1/2. La densidad espectral total integrada es igual a la varianza de la serie. Así, la densidad espectral dentro de un intervalo particular de frecuencias puede ser vista como la cantidad de la varianza explicada por esas frecuencias. Métodos para estimar la densidad espectral El periodograma en bruto es una estimación aproximada de la muestra de la densidad espectral de la población. La estimación es áspera, en parte, porque usamos solamente las frecuencias armónicas fundamentales discretas para el periodograma mientras que la densidad espectral se define sobre un continuo de frecuencias. Una posible mejora de la estimación periodográfica de la densidad espectral es suavizarla usando medias móviles centradas. Se puede crear un suavizado adicional usando métodos de estrechamiento que ponderan los extremos (en el tiempo) de la serie menos que el centro de los datos. Bueno, no cubra el estrechamiento en esta lección. Las partes interesadas pueden ver la Sección 4.5 en el libro y varias fuentes de Internet. Un enfoque alternativo para suavizar el periodograma es un enfoque de estimación paramétrica basado en el hecho de que cualquier serie temporal estacionaria puede ser aproximada por un modelo de AR de algún orden (aunque podría ser un orden alto). En este enfoque se encuentra un modelo de AR adecuado, y luego se estima la densidad espectral como la densidad espectral para ese modelo de AR estimado. Método de Suavizado (Estimación No Paramétrica de la Densidad Espectral) El método usual para suavizar un periodograma tiene un nombre tan sofisticado que suena difícil. De hecho, es simplemente un procedimiento centrado media móvil con algunas posibles modificaciones. Para una serie temporal, el kernel de Daniell con el parámetro m es un promedio móvil centrado que crea un valor suavizado en el tiempo t promediando todos los valores entre los tiempos t m y t m (inclusive). Por ejemplo, la fórmula de suavizado para un núcleo de Daniell con m 2 es In R, los coeficientes de ponderación para un núcleo de Daniell con m 2 se pueden generar con el kernel de comandos (daniell, 2). El resultado es coef-2 0,2 ​​coef-1 0,2 coef 0,2 coef 1 0,2 coef 2 0,2 ​​Los subíndices de coef se refieren a la diferencia de tiempo desde el centro de la media en el tiempo t. Por lo tanto, la fórmula de suavizado en este caso es la que es la misma que la fórmula dada anteriormente. El núcleo de Daniell modificado es tal que los dos extremos en el promedio reciben la mitad del peso que hacen los puntos interiores. Para un kernel de Daniell modificado con m 2, el suavizado es In R, el kernel de comandos (modified. daniell, 2) enumerará los coeficientes de ponderación que se acaban de usar. El núcleo de Daniell o el núcleo de Daniell modificado puede ser convoluto (repetido) de modo que el suavizado se aplique de nuevo a los valores suavizados. Esto produce un suavizado más extenso promediando en un intervalo de tiempo más amplio. Por ejemplo, para repetir un núcleo de Daniell con m 2 sobre los valores suavizados que resultaron de un núcleo de Daniell con m 2, la fórmula sería: Esta es la media de los valores suavizados dentro de dos períodos de tiempo t. en cualquier dirección. En R, el núcleo de comando (daniell, c (2,2)) suministrará los coeficientes que se aplicarán como pesos en el promedio de los valores de datos originales para un núcleo de Daniell con m 2 en ambas suavizaciones. El resultado es el grano gt (daniell, c (2,2)) coef-4 0,04 coef-3 0,08 coef-2 0,12 coef-1 0,16 coef 0,20 coef 1 0,16 coef 2 0,12 coef 3 0,08 coef 4 0,04 Esto genera el suavizado Fórmula Una convolución del método modificado en el que los puntos finales tienen menos peso también es posible. El núcleo de comando (modified. daniell, c (2,2)) da estos coeficientes: coef-4 0.01563 coef-3 0.06250 coef-2 0.12500 coef-1 0.18750 coef 0 0.21875 coef 1 0.18750 coef 2 0.12500 coef 3 0.06250 coef 4 0.01563 Así, los valores centrales se ponderan ligeramente más fuertemente que en el núcleo de Daniell no modificado. Cuando suavizamos un periodograma, estamos suavizando un intervalo de frecuencia en lugar de un intervalo de tiempo. Recuerde que el periodograma se determina en las frecuencias fundamentales j j / n para j 1, 2,, n / 2. Sea I (j) el valor del periodograma a la frecuencia j j / n. Cuando usamos un kernel de Daniell con el parámetro m para suavizar un periodograma, el valor suavizado (hat (omegaj)) es un promedio ponderado de los valores del periodograma para las frecuencias en el rango (j-m) / n a (jm) / n. Hay valores de frecuencia fundamental L 2 m 1 en el rango (j-m) / n a (jm) / n. La gama de valores utilizados para suavizar. El ancho de banda para el periodograma suavizado se define como: El ancho de banda es una medida de la anchura del intervalo de frecuencias utilizado para suavizar el periodograma. Cuando se usan pesos desiguales en el suavizado, se modifica la definición de ancho de banda. Denotar el valor del periodograma suavizado en j j / n como hat (omegaj) sum hk I left (omegaj frac right). Los hk son los pesos posiblemente desiguales utilizados en el alisado. La fórmula de ancho de banda se modifica en realidad, esta fórmula funciona para iguales pesos también. El ancho de banda debe ser suficiente para suavizar nuestra estimación, pero si usamos un ancho de banda que es demasiado grande, bien suavizar el periodograma demasiado y no ver picos importantes. En la práctica, por lo general se necesita una cierta experimentación para encontrar el ancho de banda que proporciona un suavizado adecuado. El ancho de banda se controla predominantemente por el número de valores que se promedian en el suavizado. En otras palabras, el parámetro m para el kernel de Daniell y si el núcleo es convoluto (repetido) afectan el ancho de banda. Nota: Los anchos de banda de los informes R con sus gráficos no coinciden con los valores que se calcularían utilizando las fórmulas anteriores. Véase la nota a pie de página p. 197 de su texto para una explicación. El promedio / suavizado del periodograma con un kernel Daniell se puede lograr en R usando una secuencia de dos órdenes. El primero define un núcleo de Daniell y el segundo crea el periodograma suavizado. Por ejemplo, supongamos que la serie observada se denomina xy deseamos suavizar el periodograma usando un núcleo de Daniell con m 4. Los comandos son k kernel (daniell, 4) spec. pgram (x, k, taper0, log no) El primer comando crea los coeficientes de ponderación necesarios para el suavizado y los almacena en un vector denominado k. (Su arbitrario para llamarlo k. Podría llamarse cualquier cosa.) El segundo comando pide una estimación de densidad espectral basado en el periodograma para la serie x. Utilizando los coeficientes de ponderación almacenados en k, sin conicidad, y la gráfica será a escala ordinaria, no a escala logarítmica. Si se desea una convolución, el comando kernel podría modificarse a algo como k kernel (daniell, c (4,4)). Hay dos maneras posibles de lograr un kernel de Daniell modificado. Puede cambiar el comando kernel para referirse a modified. daniell en vez de daniell o puede saltarse usando el comando kernel y usar un parámetro spans en el comando spec. pgram. El parámetro spans proporciona la longitud (2 m 1) del núcleo de Daniell modificado deseado. Por ejemplo, un núcleo de Daniell modificado con m 4 tiene longitud L 2 m 1 9 así que podríamos usar el comando spec. pgram (x, spans9, taper 0, logno) Dos pasadas de un kernel de Daniell modificado con m 4 en cada paso Puede hacerse usando spec. pgram (x, spansc (9,9), conicidad 0, logno) Ejemplo. Este ejemplo utilizará la serie de reclutamiento de peces que se usa en varios lugares del texto, incluyendo varios lugares en el capítulo 4. La serie consta de 453 valores mensuales de una medida de una población de peces en una ubicación en el hemisferio sur. Los datos se encuentran en el archivo recruit. dat. El periodograma en bruto se puede crear usando el comando (o podría crearse usando el método dado en la Lección 6). Spec. pgram (x, taper0, logno) Tenga en cuenta que en el comando recién dado hemos omitido el parámetro que da pesos para suavizado. El periodograma en bruto sigue: La siguiente trama es un periodograma suavizado usando un núcleo de Daniell con m 4. Obsérvese que un efecto del suavizado es que el pico dominante en la versión sin suavizar es ahora el segundo pico más alto. Esto sucedió porque el pico está tan claramente definido en la versión sin pulir que cuando la media con unos cuantos valores circundantes la altura se reduce. La siguiente gráfica es un periodograma suavizado usando dos pasadas de un núcleo de Daniell con m 4 en cada paso. Observe cómo es aún más suavizado que previamente. Para saber dónde se encuentran los dos picos dominantes, asigne un nombre a la salida spec. pgram y, a continuación, puede enumerarla. Por ejemplo, specvalues ​​spec. pgram (x, k, taper0, logno) specvalues ​​Usted puede tamizar a través de la salida para encontrar las frecuencias en las cuales ocurren los picos. Las frecuencias y estimaciones de densidad espectral se enumeran por separado, pero en el mismo orden. Identifique las densidades espectrales máximas y luego encuentre las frecuencias correspondientes. Aquí, el primer pico está en una frecuencia .0229. El período (número de meses) asociado con este ciclo 1 / .0229 43,7 meses, o aproximadamente 44 meses. El segundo pico se produce a una frecuencia de 0,083333. El período asociado 1 / .08333 12 meses. El primer pico está asociado con un efecto del tiempo de El Niño. El segundo es el habitual efecto estacional de 12 meses. Estos dos comandos colocarán líneas punteadas verticales en el diagrama de densidad espectral (estimado) en las localizaciones aproximadas de las densidades máximas. Abline (v1 / 44, ltydotted) abline (v1 / 12, lty punteado) Aquí está el diagrama resultante: Hemos suavizado lo suficiente, pero para propósitos de demostración, la siguiente parcela es el resultado de spec. pgram (x, spansc (13,13) , Taper0, logno) Utiliza dos pasadas de un núcleo de Daniell modificado con longitud L 13 (así que m 6) cada vez. La trama es un poco más suave, pero no por mucho. Los picos, por cierto, están exactamente en los mismos lugares que en la parcela inmediatamente superior. Es definitivamente posible suavizar demasiado. Supongamos que debemos utilizar un núcleo de Daniell modificado de longitud total 73 (m 36). El comando es spec. pgram (x, spans73, taper0, logno) El resultado sigue. Los picos se han ido. Estimación paramétrica de la densidad espectral El método de suavizado de la estimación de la densidad espectral se denomina método no paramétrico porque no utiliza ningún modelo paramétrico para el proceso de la serie temporal subyacente. Un método alternativo es un método paramétrico que implica encontrar el mejor modelo de AR para la serie y luego trazar la densidad espectral de ese modelo. Este método está apoyado por un teorema que dice que la densidad espectral de cualquier proceso de series temporales puede ser aproximada por la densidad espectral de un modelo AR (de algún orden, posiblemente alto). En R, la estimación paramétrica de la densidad espectral se realiza fácilmente con el comando / función spec. ar. Un comando como spec. ar (x, logno) hará que R haga todo el trabajo. Nuevamente, para identificar picos podemos asignar un nombre a los resultados spec. ar haciendo algo como specvaluesspec. ar (x, log no). Para el ejemplo de reclutamiento de peces, la siguiente gráfica es el resultado. Obsérvese que la densidad trazada es la de un modelo AR (13). Ciertamente podemos encontrar más parsimonious ARIMA modelos para estos datos. Sólo se utiliza la densidad espectral de ese modelo para aproximar la densidad espectral de las series observadas. La aparición de la densidad espectral estimada es aproximadamente la misma que antes. El pico estimado de El Niño se encuentra en un lugar ligeramente diferente, la frecuencia es de aproximadamente 0,024 para un ciclo de aproximadamente 1 / .024 aproximadamente 42 meses. Una serie debe ser de-tendencia antes de un análisis espectral. Una tendencia causará una densidad espectral tan dominante a una frecuencia baja que otros picos no serán vistos. De forma predeterminada, el comando spec. pgram R realiza una de-tendencias usando un modelo de tendencia lineal. Es decir, se calcula la densidad espectral utilizando los residuos de una regresión hecha donde la variable y los datos observados y la variable x t. Si existe un tipo diferente de tendencia, una cuadrática por ejemplo, entonces se podría usar una regresión polinómica para desvirtuar los datos antes de explorar la densidad espectral estimada. Tenga en cuenta, sin embargo, que el comando R spec. ar. Sin embargo no realiza un de-trending por defecto. Aplicación de Smoothers a datos brutos Tenga en cuenta que los suavizadores descritos aquí también podrían aplicarse a datos sin procesar. El núcleo de Daniell y sus modificaciones son sencillamente medios lisos de media móvil (o media móvil ponderada). Navegación16. Estimación espectral El problema de estimación espectral para una serie de tiempo discreto generada por un proceso lineal, invariable en el tiempo, puede formularse en términos de tres modelos: AR (autorregresivo), promedio móvil (MA) y promedio ARRE (auto-regresivo-móvil). Los procedimientos de análisis difieren en cada facilidad, y los errores de especificación surgen debido a la aplicación del algoritmo inadecuado. Los modelos AR y MA conducen respectivamente a los enfoques de entropía máxima (MEM) y clásico de lag-window. El modelo ARMA tiene mucho interés sísmico, la respuesta impulsiva unitaria de un medio estratificado horizontal es expresable de esta manera. Dado que su componente de realimentación tiene la propiedad de mínimo retardo, una técnica de estimación espectral ARMA que satisface este requisito tiene relevancia sísmica particular. Tal estimación espectral resulta de la aplicación de un algoritmo iterativo de mínimos cuadrados a las puertas seleccionadas de las series temporales observadas. Un conjunto de muestras de series temporales sintéticas sirve para ilustrar la degradación en la estimación espectral resultante de una especificación incorrecta del modelo. Mucho se ha escrito en los últimos años sobre el análisis espectral de series de tiempo discreto. No existe una única técnica correcta para calcular el espectro en ausencia de conocimiento sobre el tipo de proceso que ha generado los datos. Como hemos visto en el capítulo 9, distinguimos entre tres procesos posibles: autorregresivo (AR), promedio móvil (MA) y promedio autorregresivo-móvil (ARMA). En términos de ingeniería, estos procesos, respectivamente, describen los sistemas de todos los polos (o retroalimentación), los sistemas cero (o feedforward) y el polo cero (o feedbaek-feedforward). En términos generales, no tendremos un conocimiento a priori sobre el mecanismo generador de las series temporales, y nos vemos obligados a asumir que nuestros datos registrados realmente satisfacen una de estas tres representaciones. Una vez que se ha tomado esta decisión, debemos seleccionar un algoritmo apropiado para el cálculo de la estimación espectral real. En el caso del AR, o modelo de todos los polos, el método de entropía máxima (MEM) implementado con una técnica debida a Burg (1967, 1975) es apropiado. Para el MA, o el modelo de todo-cero, hemos recurrido al enfoque clásico de la ventana de retraso (Blackman y Tukey, 1959). En el Apéndice 16-1 damos las matemáticas del método clásico de la ventana de retraso, y en el Apéndice 16-2, las matemáticas del método de entropía máxima. El modelo ARMA o polo cero también ha recibido atención en la literatura reciente: Anderson (1971, Cap. 5), Box y Jenkins (1970, capítulos 6 y 7) han descrito las técnicas pertinentes de estimación espectral Alam (1978). La representación racional de la respuesta de impulso de un proceso ARMA viene dada por la relación de dos polinomios en la variable compleja z. En este capítulo estaremos particularmente interesados ​​en el análisis espectral de los sismogramas. Como hemos visto en el capítulo 13, la respuesta impulsional unitaria de un medio estratificado horizontalmente perfectamente elástico puede expresarse como la relación de dos polinomios de este tipo en potencias de z. Pero con la restricción adicional de que el denominador polinomio tiene la propiedad de mínimo retardo. En otras palabras, esta condición obliga a los polos del sistema a situarse fuera de la periferia del círculo unitario z 1 en el plano complejo, y nos permite ampliar la relación polinomial ARMA en forma de una serie de potencia convergente en z. Por lo tanto, será deseable buscar un algoritmo de estimación espectral ARMA que garantice un denominador de mínimo retardo. Aunque no existe una necesidad matemática intrínseca de que un método de estimación espectral de ARMA produzca un denominador de mínimo retardo, acabamos de afirmar que tal búsqueda tiene una fuerte motivación física. En consecuencia, la propiedad de mínimo retardo del denominador es un punto fuerte, y no necesariamente. Compartido por otros estimadores espectrales ARMA. 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